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By Claus Scheiderer

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Daraus folgt (b). 4. Bemerkungen. 1. Die Irreduzibilit¨ at von f ist wesentlich! 2. Sei f ∈ K[t] irreduzibel. Ist E/K eine K¨ orpererweiterung, und sind α, β ∈ E zwei Nullstellen von f in E, so ist K(α) ∼ orper K(α) und K(β) sind u ¨ber K =K K(β). Die K¨ algebraisch nicht unterscheidbar, k¨ onnen aber durchaus verschieden sein (und verschieden √ √ aussehen). 189 . . ) beide Wurzelk¨ orper von t4 − 2 u ¨ber Q (das Polynom ist irreduzibel nach Eisenstein). Aber L1 ⊂ R, L2 ⊂ R. 5. Korollar. Sei f ∈ K[t] irreduzibel und sei L = K(α) ein Wurzelk¨ orper von f , mit f (α) = 0.

8. Dieser letzte Satz zeigt schon Unterschiede zwischen Charakteristik p und Charakteristik 0. 12. Satz. Sei A ein Ring und p eine Primzahl mit p = 0 in A. Dann ist (x + y)p = xp + y p f¨ ur alle x, y ∈ A. Die Abbildung ϕ : A → A, ϕ(x) = xp ist also ein Ringendomorphismus von A. `p´ i p−i ` ´ P Beweis. 1 p(p − 1) · · · (p − i + 1) ist i=1 i x y f¨ ur i = 1, . . , p − 1 durch p teilbar. n n n Induktiv folgt auch (x + y)p = xp + y p f¨ ur alle n ∈ N. 13. Definition. Sei K ein K¨ orper mit char(K) = p > 0.

Quadratische Erweiterungen von K, die nicht von √ der Form K( c) sind, zum Beispiel K = F2 und L = F2 [t]/(t2 + t + 1). Wir kommen etwas sp¨ ater darauf zur¨ uck. 3. Den zuvor gemachten Ansatz zur Vereinfachung von quadratischen Gleichungen kann man verallgemeinern: F¨ ur das Polynom f = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 a , daß an−1 zu Null vom Grad n > 1 erreicht man durch die Substitution y = x + n−1 n wird. (N. 19. Beispiel. Sei L der Wurzelk¨ orper von f = t3 − 4t + 1 u ¨ber Q (das Polynom ist irreduzibel u uft).

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