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By Rainer Vogt

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Sommersemester 2010

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Example text

R · . d d Beweis: Sei α = a1 α1 + . . + an αn ∈ B mit ai ∈ K und seien σj : F → K, j = 1, . . , n die n K-Homomorphismen von F nach K. Dann gilt n σj (α) = i=1 ai · σj (αi ). h. (a1 , . . , an ) ist eine L¨osung des Gleichungssytem (∗). 5 det(σj (αi ))2 = DF/K (α1 , . . , αn ) = d = 0, k¨onnen wir die Cramer’sche Regel anwenden. Ist δ = det(σj (αi )), so gibt es Elemente βi ∈ K, so dass ai = βi . δ n n Es folgt βi · δ = ai · d ∈ K, also d · α = dai αi = (βi · δ)αi , da δ 2 = d. i=1 i=1 Da die αi ganz u ¨ber R sind, sind die σj (αi ) ganz u ¨ber R.

Also folgt in diesem Fall aus (∗), dass B ein freier R-Modul vom Rang m ist. 6 Folgerung: Ist R Hauptidealring, dann ist jede R-Basis von B eine K-Basis von F . 7 Definition: Ein algebraischer Zahlk¨orper K ist eine endliche Erweiterung Q ⊂ K. 15. Ist K ein Zahlk¨orper, dann ist Q ⊂ K endlich und separabel. 1. 8 Bezeichnung: Ist K ein Zahlk¨orper, dann bezeichne OK den ganzen Abschluss von Z in K. Wir nennen den Ring OK den Ring der ganzen Zahlen in K. Wir nennen disc(OK /Z) die Diskriminante von K und bezeichnen sie oft mit δK .

Pr besitzt. Es folgt J = J · R = Jp−1 · p = p1 · p2 · . . · pr · p ein Widerspruch. Eindeutigkeit: Seien J = p 1 · p 2 · . . · p r = q1 · . . · qs zwei Primzerlegungen von J. Da q1 · . . · qs = p1 · . . · ps ⊂ p1 und p1 ein Primideal ist, ist ein Faktor qi , nach Umordnen q1 , in p1 enthalten: q1 ⊂ p1 . Da q1 prim ist, ist q1 maximal, also q1 = p1 . Wir multiplizieren mit p−1 1 und −1 nutzen aus, dass p · p = R ist f¨ ur jedes Primideal p = 0. Es folgt p 2 · p 3 · . . · p r = q2 · q3 · .

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